Optimisation de la puissance d'une lampe

Un panneau solaire fournit une tension constante de \(12\) volts et a une résistance interne de \(2\) ohms. Il alimente une lampe dont la résistance de \(x\) ohms peut être réglée.
On souhaite déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle la puissance dissipée dans la lampe est maximale.
L’intensité en ampères dans le circuit est donnée par \(I(x) = \dfrac{12}{2 + x}\).

La puissance dissipée en watts dans la lampe est alors \(P(x) = x \times I(x)^2 = \dfrac{144x}{(2 + x)^2}\).

1. Calculer l'intensité dans le circuit ainsi que la puissance dissipée dans la lampe lorsque la résistance de la lampe est réglée sur \(10\) ohms.
2. Déterminer l'expression de \(P'(x)\) pour tout réel \(x>0\).
On admettra par la suite que, pour tout réel \(x>0\), \(P'(x) = \dfrac{144(2 - x)}{(2 + x)^3}\).
3. Déterminer le signe de \(P'(x)\) et dresser le tableau de variations de la fonction \(P\) sur \(]0\,;+\infty[\).
4. Quelle est la puissance maximale \(P_{\text{max}}\) dissipée dans la lampe ? À quelle valeur de la résistance de la lampe cela correspond-il ?